Question

（2012•煙臺一模）已知函數f(x)=

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x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一個極值點．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若當x∈[1，+∞）時，f(x)-

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＞a2恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用x=2是f（x）的一個極值點，可得f'（2），從而可求b的值，進而利用f'（x）＞0可得函數f（x）的單調增區間，f'（x）＜0可得函數f（x）的單調減區間；
（2）x∈[1，+∞）時，f(x)-

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＞a2恒成立等價于a2＜f(x)min-

2

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，x∈[1，+∞)，由此可求a的取值范圍．

解答：解：（1）求導函數，可得f'（x）=x²-2bx+2
∵x=2是f（x）的一個極值點
∴f'（2）=4-4b+2=0，∴b=

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，--------------------------------------------（2分）
∴f'（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2）------------------------------------------（4分）
由f'（x）＞0得x＞2或x＜1，∴函數f（x）的單調增區間為（-∞，1），（2，+∞）；------（6分）
由f'（x）＜0得1＜x＜2，∴函數f（x）的單調減區間為（1，2），---------------------（8分）
（2）由（1）知，函數f（x）在（1，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增
∴當x=2時，函數f（x）取得最小值，f（x）_min=f（2）=a+

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，------------------（10分）
x∈[1，+∞）時，f(x)-

2

3

＞a2恒成立等價于a2＜f(x)min-

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3

，x∈[1，+∞)-----------（12分）
即a²-a＜0，
∴0＜a＜1．----------------------------------------------------（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值與單調性，考查恒成立問題，解題的關鍵是正確求導，確定函數的單調性，恒成立問題利用分離參數法求解．