Question

設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，短軸一個端點到右焦點的距離為2．
（1）求橢圓的方程．
（2）若P是該橢圓上的一個動點，F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先設出橢圓的標準方程，進而根據焦點坐標確定c，根據焦點于長軸上較近的端點距離確定a，進而根據a，b和c的關系確定b，橢圓方程可得．
（2）設出點P的坐標，進而可表示出

PF 1

•

PF 2

，進而根據x的范圍確定

PF 1

•

PF 2

的范圍

解答：解：（1）設所求的橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由離心率e=

c

a

=

3

2

則

c= 3 3 a-c=2-  3 a2=b2+c2

解得a=2，b=1，c=

3

故所求橢圓的方程為

x2

4

+y2=1，
（2）由（1）知F₁（-

3

，0），設P（x，y），
則

PF 1

•

PF 2

=（-

3

-x，-y）•（

3

-x，-y）=x²+y²-3=

1

4

（3x²-8）
∵x∈[-2，2]，∴0≤x²≤4，
故

PF 1

•

PF 2

∈[-2，1]
故最大值1，最小值-2．

點評：本題主要考查了橢圓的應用．解答的關鍵是利用待定系數法求橢圓方程及平面向量的基本計算．