Question

已知橢圓W的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，兩條準線間的距離為6. 橢圓W的左焦點為，過左準線與軸的交點任作一條斜率不為零的直線與橢圓W交于不同的兩點、，點關于軸的對稱點為.

（Ⅰ）求橢圓W的方程；

（Ⅱ）求證： ()；

（Ⅲ）求面積的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）橢圓W的方程為

（Ⅱ）見解析

（Ⅲ）面積的最大值為

解析:

（Ⅰ）設橢圓W的方程為，由題意可知

解得，，，

所以橢圓W的方程為．……………………………………………4分

（Ⅱ）解法1：因為左準線方程為，所以點坐標為.于是可設直線 的方程為．

得.

由直線與橢圓W交于、兩點，可知

，解得．

設點，的坐標分別為，,

則，，，．

因為，，

所以，.

又因為

，

所以．    ……………………………………………………………10分

解法2：因為左準線方程為，所以點坐標為.

于是可設直線的方程為，點，的坐標分別為，,

則點的坐標為，，．

由橢圓的第二定義可得

,

所以，，三點共線，即．…………………………………10分

(Ⅲ)由題意知

 

    

     ，

當且僅當時“=”成立，

所以面積的最大值為．