Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、M、N分別為棱DD₁、AB、BC的中點．
（1）求二面角B₁-MN-B的正切值；
（2）畫出一個正方體的表面展開圖，使其滿足“有4個正方形相連成一個長方形”這一條件，并求展開圖中P、B兩點間的距離（設正方體的棱長為1）．

Answer 1

分析：（1）要求二面角B₁-MN-B的正切值，我們要先找出二面角的平面角，再構造三角形，解三角形求出其正切值．
（2）由正方體12種展開圖，選其中“1-4-1”的情況，再標識出P點即可，從而可求PB．

解答：解：（1）連接BD交MN于F，則BF⊥MN，連接B₁F．
∵B₁B⊥平面ABCD，∴B₁B⊥MN．
又∵BD⊥MN，B₁B∩BD=B，∴MN⊥平面B₁BF
∴MN⊥B₁F，∴∠B₁FB為二面角B₁-MN-B的平面角．
在Rt△B₁BF中，B₁B=1，BF=

2

4

，∴tan∠B₁FB=2

2

；
（2）符合條件的正方體表面展開圖可以是以下6種情況之一．

由圖可知PB=

1+( 3 2 )2

=

13

2

點評：本題考查線面角，考查展開圖，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．