Question

已知數列{a_n}和{b_n}滿足：an=2n-

5

2

，bn=

C 0 n a1+ C 1 n a2+…+ C n-1 n an+ C n n an+1

2n-1

，其中n∈N^*，則b₁+b₂+…+b₂₀₁₃=

2013²

．

Answer 1

分析：根據 bn=

C 0 n a1+ C 1 n a2+…+ C n-1 n an+ C n n an+1

2n-1

，且b_n=

C n n •an+1 +C n-1 n •an+… +C 1 n •a2 +C 0 n •a1

2n-1

，兩式相加可得b_n=2n-1，故{b_n}是以1為首項，以2為公差的等差數列．再由等差數列的求和公式求得
b₁+b₂+…+b₂₀₁₃的值．

解答：解：∵a_n=2n-

5

2

，∴a_n+1=2n-

1

2

．
又 bn=

C 0 n a1+ C 1 n a2+…+ C n-1 n an+ C n n an+1

2n-1

，
且b_n=

C n n •an+1 +C n-1 n •an+… +C 1 n •a2 +C 0 n •a1

2n-1

，
兩式相加可得 2b_n=

C 0 n (a1+an+1) +C 1 n (a2+an) +…+C n n (a n+1+a 1    )

2n-1

=

(a1+an+1)• (C 0 n +C 1 n +… +C n n )

2n-1

=

(a1+an+1)•2n

2n-1

=2（a₁+a_n+1）=2（2n-1），
∴b_n=2n-1，{b_n}是以1為首項，以2為公差的等差數列．
故b₁+b₂+…+b₂₀₁₃=

2013(b1+b2013)

2

=2013²，
故答案為 2013²．

點評：本題主要考查用倒序相加法進行求和，二項式系數的性質，屬于中檔題．