Question

設數列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1=a_n²+a₁，M={a∈R|n∈N*，|a_n|≤2}。
（1）當a∈（-∞，-2）時，求證：aM；
（2）當a∈（0，]時，求證：a∈M；
（3）當a∈（，+∞）時，判斷元素a與集合M的關系，并證明你的結論。

Answer 1

解：（1）如果a＜-2．則|a₁|=|a|>2，。
（2）當時，
事實上，①當n=1時，
假設n=k-1時成立（k≥2，k∈N*）
②對
由歸納假設，對任意n∈N*

所以a∈M。
（3）當時，
證明如下：對于任意n≥1

且
對于任意n≥1


所以
當時，
即2，因此。