Question

設函數f(x)=x²e^x-1-x³-x²（x∈R），
(Ⅰ)求函數y=f(x)的單調區(qū)間；
(Ⅱ)求y=f(x)在[-l，2]上的最小值；
(Ⅲ)當x∈(1，+∞)時，用數學歸納法證明：n∈N*，e^x-1＞。

Answer 1

解：(Ⅰ)，
令，可得，

函數y=f(x)的增區(qū)間為（-2，0）和(1，+∞)，減區(qū)間為（-∞，-2）和(0，1)。 
 (Ⅱ)當時，，，
，
所以，f(x)在上的最小值為。
 (Ⅲ)設，
當n=1時，只需證明，
當時，，
所以，在上是增函數，
∴，即，
當時，假設n=k時不等式成立，
即，
當n=k+1時，
因此，，
所以，在上是增函數，
所以，，
即當n=k+1時，不等式成立，
所以，當時，。