Question

設f（x）是定義在R上的奇函數，且f（2）=0，當x＞0時，有(

f(x)

x

)的導數小于零恒成立，則不等式

x

2

f(x)＞0的解集是（　　）

A．（一2，0）∪（2，+∞）

B．（一2，0）∪（0，2）

C．（-∞，-2）∪（2，+∞）

D．（-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析：首先根據商函數求導法則，求出(

f(x)

x

)的導數

xf′(x)-f(x)

x2

；然后利用導函數的正負性，判斷函數y=

f(x)

x

在（0，+∞）內單調遞減；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）內的正負；最后結合奇函數的圖象特征，可得f（x）在（-∞，0）內的正負性．則x²f（x）＞0?f（x）＞0的解集即可求得．

解答：解：由(

f(x)

x

)′=

xf′(x)-f(x)

x2

因為當x＞0時，有

xf′(x)-f(x)

x2

＜0恒成立，即[

f(x)

x

]′＜0恒成立，
∴y=

f(x)

x

在（0，+∞）內單調遞減，
∵f（2）=0，
∴在（0，2）內恒有f（x）＞0；在（2，+∞）內恒有f（x）＜0．
又∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴在（-∞，-2）內恒有f（x）＞0；在（-2，0）內恒有f（x）＜0．
又不等式x²f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．
故答案為：（-∞，-2）∪（0，2）．

點評：本題主要考查函數求導法則及函數單調性與導數的關系，判斷函數的單調性時，常可利用導函數來判斷，注意轉化思想的應用．