Question

【題目】已知橢圓的焦距為2，過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設橢圓的右焦點為F，定點，過點F且斜率不為零的直線l與橢圓交于A，B兩點，以線段AP為直徑的圓與直線的另一個交點為Q，證明：直線BQ恒過一定點，并求出該定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，.

【解析】

（1）根據題意列方程組，求解，，即可.

（2）設，因為直線的斜率不為零，令的方程為：，與橢圓方程聯立，得到，，由題意可知，，則，確定的方程，由橢圓的對稱性，則定點必在軸上，所以令，求解，即可.

（1）由題知 ， 解得，，

所以橢圓的方程為；

（2）設，因為直線的斜率不為零，令的方程為：，

由 得，

則，，

因為以為直徑的圓與直線的另一個交點為,所以，則，

則，故的方程為： ，

由橢圓的對稱性，則定點必在軸上，所以令，則

，

而，，，

所以，

故直線恒過定點，且定點為.