Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面邊長AB=2，AB₁⊥BC₁，點O、O₁分別是邊AC，A₁C₁的中點，建立如圖所示的空間直角坐標系．
（1）求正三棱柱的側棱長；
（2）若M為BC₁的中點，試用基向量、、表示向量；
（3）求異面直線AM與BC所成角．

Answer 1

解：（1）設側棱長為b，則A（0，-1，0），B₁（，0，b），B（，0，0），C₁（0，1，b）
={，1，b}，={-，1，b} …3 分
∵AB₁⊥BC₁∴-3+1+b²=0，b=…（5分）
（2）∵M為BC₁的中點，
∴…（8分）
（3）設異面直線AM與BC所成角為α，，…（10分），∴α=90°…（12分）
分析：（1）利用坐標表示點，進而表示向量，借助于AB₁⊥BC₁，可建立方程，從而可求正三棱柱的側棱長；
（2）利用M為BC₁的中點，可得，從而可解；
（3）先求的坐標，利用其數量積，可求異面直線AM與BC所成角．
點評：本題的考點是用空間向量求直線間的夾角與距離，主要考查用坐標表示向量，考查異面直線AM與BC所成角，關鍵是用坐標表示向量