Question

已知函數f(x)＝ax³＋bx＋c在x＝2處取得極值為c－16.

(1)求a，b的值；

(2)若f(x)有極大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．

Answer 1

解　(1)因f(x)＝ax³＋bx＋c，故f′(x)＝3ax²＋b，

由于f(x)在點x＝2處取得極值c－16，

故有即

化簡得解得

(2)由(1)知f(x)＝x³－12x＋c，f′(x)＝3x²－12.

令f′(x)＝0，得x＝－2或2，當x∈(－∞，－2)時，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上為

增函數；

當x∈(－2,2)時，f′(x)<0，故f(x)在(－2,2)上為減函數；

當x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，故f(x)在(2，＋∞)上為增函數．

由此可知f(x)在x＝－2處取得極大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x＝2處取得極小值f(2)＝c－16.

由題設條件知，16＋c＝28，解得c＝12，

此時f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值為f(2)＝－4.