Question

使不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…  +

1

2n+1

＜a-2007

1

3

對一切正整數n都成立的最小正整數a的值為

2009

．

Answer 1

分析：不等式的左側設為a_n，構造數列{an}通過證明數列是遞減數列，求出使不等式成立的最小正整數a的值．

解答：解：設：a_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…  +

1

2n+1

，
a_n+1=

1

n+2

+

1

n+3

+…  +

1

2n+3

，
a_n+1-a_n=

1

2n+2

+

1

2n+3

-

1

n+1

＜0
所以{a_n}對于n為正整數時為單調遞減數列，
使不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…  +

1

2n+1

＜a-2007

1

3

對一切正整數n都成立的最小正整數a的值，
就是n=1時，a＞2007

1

3

+

1

2

+

1

3

=2008+

1

6

成立的最小整數．即2009．
故答案為：2009．

點評：本題是中檔題，考查數列與不等式的關系，考查構造法解題，已經函數的單調性等有關知識．