Question

在數列{a_n}中，，a₁=1，a₂=2，三個相鄰項a_n，a_n+1，a_n+2，當n為奇數時成等比數列；當n為偶數時成等差數列．求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：先根據題意可枚舉出數列的前幾項，進而總結過規律將n為奇數（n=2k-1）的數列取出 得到 1 4 9 16 25，可作出假設a_2k-1=k²，k≥1的整數，將n為偶數（n=2k）的數列取出 得到 2 6 12 20 30，可作出假設a_2k=a_2k-2+2k，k≥2．用疊加法可以得出 a_2k，因為當n=2k-1為奇數時a_n+1²=a_na_n+2代入n=2k-1得到 a_2k²=a_2k-1a_2k+1，當n=2k為偶數時，2a_n+1=a_n+a_n+2
代入n=2k 得到 2a2_k+1=a_2k+a_2k+2，然后把假設的式子代入符合，推斷假設成立，進而分別可求得當n為奇數和n為偶數時數列的通項公式．

解答：解：按照題意可得數列為
1 2 4 6 9 12 16 20 25 30
規律如下：
將n為奇數（n=2k-1）的數列取出 得到 1 4 9 16 25
可作出假設a_2k-1=k²，k≥1的整數…①
將n為偶數（n=2k）的數列取出 得到 2 6 12 20 30
可作出假設a_2k=a_2k-2+2k，k≥2，a₂=2
用疊加法可以得出 a_2k=（1+k）k k≥的整數（K=1時候a2=2符合） …②
因為當n=2k-1為奇數時，a_n+1²=a_na_n+2
代入n=2k-1得到 a_2k²=a_2k-1a_2k+1…③（k≥1整數）
因為當n=2k為偶數時，2a_n+1=a_n+a_n+2
代入n=2k 得到 2a2_k+1=a_2k+a_2k+2…④（k≥1整數）
根據假設①②兩式 得知a_2k²=（1+k）²k²
a_2k-1a_2k+1=k²（k+1）²，（k≥1整數）
將兩等式代入③成立
根據假設①②兩式 得到2a_2k+1=2（k+1）²
a_2k+a_2k+2=（1+k）k+（1+k+1）（k+1）=2（k+1）²，（k≥1整數）
將兩等式代入④成立
綜上所述，①②兩個假設都成立
即a_n的通式為
n為奇數（n=2k-1）時，a_2k-1=k²，k取≥1的整數
將n=2k-1代入即得 a_n=

2

4

（n+1）²，n為奇數
n為偶數（n=2k）時，a_2k=（1+k）k，k取≥1的整數，
將n=2k代入 即得 a_n=（1+

n

2

）*

n

2

=

(2n+n2)

4

點評：本題主要考查了等比數列的性質．考查了學生推理能力，分析問題的能力和運算能力．