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已知定義域為[0，1]的函數f(x)同時滿足以下三個條件：

①對任意的x∈[0，1]，總有f(x)≥0；

②f(1)＝1；

③若x1≥0，x2≥0且x1＋x2≤1，則有成立，則稱f(x)為“友誼函數”．

(1)若已知f(x)為“友誼函數”，求f(0)的值；

(2)函數g(x)＝2x－1在區間[0，1]上是否為“友誼函數”？并給出理由；

(3)已知f(x)為“友誼函數”，且，求證：．

答案：
解析：

　　(1)取得，又由，得

　　(2)顯然在上滿足①②；

　　③若，且，

　　則有

　　故滿足條件①﹑②﹑③所以為友誼函數　　8分

　　(3)因為，則0＜＜1，

　　所以．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義域為[0，1]的函數f（x）同時滿足：
①對于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，則有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值；
（3）若對于任意x∈[0，1]，總有4f2（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義域為[0，1]的函數f（x）同時滿足以下三個條件：
①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0； 
②f（1）=1；
③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，則有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，并且稱f（x）為“友誼函數”，
請解答下列各題：
（1）若已知f（x）為“友誼函數”，求f（0）的值；
（2）函數g（x）=2x-1在區間[0，1]上是否為“友誼函數”？并給出理由．
（3）已知f（x）為“友誼函數”，且 0≤x1＜x2≤1，求證：f（x1）≤f（x2）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義域為[0，1]的函數f（x）同時滿足：
①對于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1+x2≤1，則有f （x1+x2）≥f （x1）+f （x2）．
（1）試求f（0）的值；
（2）試求函數f（x）的最大值；
（3）試證明：當x∈(
1
2n
，
1
2n-1
]，n∈N+時，f（x）＜2x．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義域為[0，1]的函數同時滿足以下三個條件：①對任意x∈[0，1]，總有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，則有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）函數g（x）=2x-1在區間[0，1]上是否同時適合①②③？并予以證明；
（3）假定存在x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求證：f（x0）=x0．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義域為[0，1]的函數f （x）同時滿足：
①對于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1+x2≤1，則有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
（1）試求f（0）的值；
（2）試求函數f （x）的最大值；
（3）試證明：當x∈(
1
4
，
1
2
]時，f（x）＜2x．

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