Question

設數列{a_n}為等比數列，數列{b_n}滿足b_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n，n∈N^*，已知b₁=m，，其中m≠0．
（Ⅰ）求數列{a_n}的首項和公比；
（Ⅱ）當m=1時，求b_n；
（Ⅲ）設S_n為數列{a_n}的前n項和，若對于任意的正整數n，都有S_n∈[1，3]，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中數列{a_n}為等比數列，我們只要根據b_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n，n∈N^*，已知b₁=m，，求出a₁，a₂然后根據公比的定義，即可求出數列{a_n}的首項和公比．
（2）當m=1時，結合（1）的結論，我們不難給出數列{a_n}的通項公式，并由b_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n，n∈N^*給出b_n的表達式，利用錯位相消法，我們可以對其進行化簡，并求出b_n；
（3）由S_n為數列{a_n}的前n項和，及（1）的結論，我們可以給出S_n的表達式，再由S_n∈[1，3]，我們可以構造一個關于m的不等式，解不等式，即可得到實數m的取值范圍．在解答過程中要注意對n的分類討論．
解答：解：（Ⅰ）由已知b₁=a₁，
所以a₁=m
b₂=2a₁+a₂，
所以，
解得，
所以數列{a_n}的公比．
（Ⅱ）當m=1時，，
b_n=na₁+（n-1）a₂++2a_n-1+a_n①，
②，
②-①得

所以，

（Ⅲ）
因為，
所以，由S_n∈[1，3]得
，
注意到，當n為奇數時，
當n為偶數時，
所以最大值為，最小值為．
對于任意的正整數n都有，
所以，2≤m≤3．
即所求實數m的取值范圍是{m|2≤m≤3}．
點評：如果一個數列的各項是由一個等差數列與一個等比數列的對應項的乘積組成，則求此數列的前n項和Sn，一般用乘以其公比然后再添加不可缺少的式子錯位相減法，要注意對字母的討論．