【題目】已知橢圓
，離心率為
，兩焦點分別為
，過
的直線交橢圓
于
兩點，且
的周長為8.
（1）求橢圓
的方程；
（2）過點
作圓
的切線
交橢圓
于
兩點，求弦長
的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
試題分析：（1）求橢圓標準方程，一般利用待定系數法，即根據條件列兩個獨立方程：一是離心率
，二是橢圓定義：
的周長為
，解方程組得
，
（2）涉及弦長問題，一般利用直線方程與橢圓方程聯立方程組，結合韋達定理和弦長公式求弦長：設切線
的方程為
，則
，再根據直線與圓相切得
，即
，代入化簡得
，最后利用基本不等式求最值
試題解析：（1）由題得：，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
又
，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
即橢圓
的方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）由題意知，
，設切線的方程為，
由
，得
．．．．．．．．．．．．．．．7分
設
，
則
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
，
由過點
的直線
與圓
相切得
，即，
所以
．．．．11分
，
當且僅當
時，，所以
的最大值為2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一種飲料每箱裝有6聽，經檢測，某箱中每聽的容量（單位：ml）如以下莖葉圖所示.
（Ⅰ）求這箱飲料的平均容量和容量的中位數；
（Ⅱ）如果從這箱飲料中隨機取出2聽飲用，求取到的2聽飲料中至少有1聽的容量為250ml的概率
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（Ⅰ）討論函數
的單調區間與極值；
（Ⅱ）若
且
恒成立，求
的最大值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，且
取得最大值時，設
，且函數
有兩個零點
，求實數
的取值范圍，并證明： 
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