Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為， ， 分別為橢圓的上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)， 的面積為，直線與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.

（1）求直線的斜率；

（2）設(shè)平行于的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)， ，且與直線交于點(diǎn)，求證：存在常數(shù)，使得.

Answer 1

【答案】(1) (2) 存在常數(shù)

【解析】試題分析：(1)由題意得到橢圓的方程為. 直線的方程為，聯(lián)立消去得，從而得線段的中點(diǎn) ，進(jìn)而得到直線的斜率；(2) 設(shè)直線的方程為. 聯(lián)立方程得到同理得到

，∴存在常數(shù)，使得.

試題解析：

（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即， ，

所以， ，所以，所以，所以橢圓的方程為.

直線的方程為，聯(lián)立消去得，所以或，

所以，從而得線段的中點(diǎn).

所以直線的斜率為.

（2）由（1）知，直線的方程為，直線的斜率為，設(shè)直線的方程為.

聯(lián)立得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

所以， .

所以.

聯(lián)立消去得，

由已知得，又，得.

設(shè)， ，則， ，

， .

所以 ，

，

故 .

所以.所以存在常數(shù)，使得.