Question

在如圖1所示的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，E為CD中點．若沿AE將三角形DAE折起，并連接DB，DC，得到如圖2所示的幾何體D-ABCE，在圖2中解答以下問題：

（Ⅰ）設G為AD中點，求證：DC∥平面GBE；
（Ⅱ）若平面DAE⊥平面ABCE，且F為AB中點，求證：DF⊥AC．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先證明ABCE為平行四邊形，可得AO=OC，從而AG=GD，進而有OG∥CD，利用線面平行的判定，可得DC∥平面GBE；（Ⅱ）在圖2中，取AE中點H，連接HF，連接EB，先證明DH⊥平面ABCE，可得AC⊥DH，證明ABCE為菱形，可得AC⊥BE，由三角形中位線的性質，可得HF∥BE，從而可得AC⊥HF，利用線面垂直的判定可得AC⊥平面DHF，從而可得DF⊥AC．
解答：證明：（Ⅰ）連接AC，交EB于O，連接OG
在圖1中，E為CD中點，ABCD為等腰梯形
所以AB∥EC，AB=EC=a，所以ABCE為平行四邊形，
所以AO=OC，
在圖2中，AG=GD，所以在三角形ACD中，有OG∥CD…（4分）
因為OG?平面GBE，CD?平面GBE，
所以DC∥平面GBE…（6分）
（Ⅱ）在圖2中，取AE中點H，連接HF，連接EB
因為△DAE為等邊三角形，所以DH⊥AE
因為平面DAE⊥平面ABCE，平面DAE∩平面ABCE=AE
所以DH⊥平面ABCE，
又AC?平面ABCE，所以AC⊥DH…（8分）
因為ABCE為平行四邊形，CE=BC=a
所以ABCE為菱形，所以AC⊥BE
因為H、F分別為AE、AB中點，所以HF∥BE
所以AC⊥HF…（10分）
因為HF?平面DHF，DH?平面DHF，
所以AC⊥平面DHF，而DF?平面DHF
所以DF⊥AC…（12分）
點評：本題考查線面垂直，考查線面平行，掌握線面平行、線面垂直的判定方法是關鍵．