Question

【題目】如圖，四面體ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，，AD＝CD＝，O是AC的中點，E是BD的中點．

（1）證明：DO⊥底面ABC；

（2）求二面角D-AE-C的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）.

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質得到，在根據面面垂直的性質定理，證得平面.

（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值.

（1）證明：∵ AD＝CD＝，O是AC的中點，

∴ DO⊥AC．

∵ 平面DAC⊥底面ABC，平面DAC∩底面ABC＝AC，

∴ DO⊥底面ABC．

（2）解：由條件易知DO⊥BO，BO⊥AC．

OA＝OC＝OD＝2， OB＝

如圖，以點O為坐標原點，OA為x軸， OB為y軸，OC為z軸建立空間直角坐標系．

則，，，

，，

，，．

設平面ADE的一個法向量為，

則 即

令，則，所以．

同理可得平面AEC的一個法向量．

．

因為二面角D-AE-C的平面角為銳角,所以二面角D-AE-C的余弦值為．