Question

【題目】已知曲線C1： ，（t為參數）曲線C2： +y2=4．
（1）在同一平面直角坐標系中，將曲線C2上的點按坐標變換y′=yx，后得到曲線C′．求曲線C′的普通方程，并寫出它的參數方程；
（2）若C1上的點P對應的參數為t= ，Q為C′上的動點，求PQ中點M到直線C3： （t為參數）的距離的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得到 ①

將①代入曲線C2： +y2=4．得 +（y′）2=4，即（x′）2+（y′）2=4．

因此橢圓 +y2=4經伸縮變換后得到的曲線方程是x2+y2=4．

它的參數方程為

（2）解：當t=π/2時，P（﹣4，4），Q（2cosθ，2sinθ），故M（﹣2+cosθ，2+sinθ）

曲線C3：為直線x﹣2y+8=0，

M到C3的距離d= |（﹣2+cosθ）﹣2（2+sinθ）+8|= |cosθ﹣2sinθ+2|= | cos（θ+α）+2|

從而tanα=2時d的最小值為 |﹣ +2|=

【解析】（1）由 得到 ，代入曲線C2： +y2=4．化簡可得橢圓 +y2=4經伸縮變換后得到的曲線方程．利用平方關系可得它的參數方程．（2）當t= 時，P（﹣4，4），Q（2cosθ，2sinθ），故M（﹣2+cosθ，2+sinθ）．曲線C3：為直線x﹣2y+8=0，利用點到直線的距離公式可得M到C3的距離d= | cos（θ+α）+2|，利用三角函數的單調性即可得出．