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已知數列{an}滿足a1=1，且對一切自然數n∈N*有an+12-an+1=2Sn.

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)求證：+…+＜2.

答案：(1)解:由an+12-an+1=2Sn，知an2-an=2Sn-1，故an+12-an+1-an2+an=2an.

∴(an+1-an)(an+1+an)=an+1+an.

∵an＞0，∴an+1-an=1(n≥2).由a1=1,an＞0,a22-a2=2S1，得a2=2，∴a2-a1=1.

∴{an}為等差數列且an=n.

(2)證明:∵當k≥2時，＜，

∴＜1+=2＜2.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數列bn-1是等比數列；
（2）求數列{anbn}的前n項和Sn；
（3）數列{an-bn}是否存在最大項，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項公式
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）證明：對于一切正整數n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1
．

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同步練習冊答案
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