Question

已知點A（a，0）（a＞4），點B（0，b）（b＞4），直線AB與圓x²+y²-4x-4y+3=0相交于C、D兩點，且|CD|=2．
（1）求（a-4）（b-4）的值；
（2）求線段AB的中點的軌跡方程；
（3）求△AOM的面積S的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用|CD|=2，得圓心到直線AB的距離d=2，從而可得

|2b+2a-ab|

a2+b2

=2，再進行化簡即可；
（2）設M中點，（x，y），則

x= a 2 y= b 2

，結合（1），化簡可得；
（3）將面積表示為S△AOM=

1

2

a•

b

2

=

1

4

(4a+4b-8)=a+b-2=(a-4)+(b-4)+6，再利用基本不等式求解．

解答：解：（1）直線AB的方程為

x

a

+

y

b

=1，其與已知圓相交，且|CD|=2，得圓心到直線AB的距離d=2，即

|2b+2a-ab|

a2+b2

=2．化簡得ab+8-4a-4b=0，故（a-4）（b-4）=8．
（2）設M（x，y），則

x= a 2 y= b 2

，由（1）得（2x-4）（2y-4）=8，（x-2）（y-2）=2（x＞2，y＞2）為所求軌跡方程．--（8分）（x，y范圍只寫一個也行沒寫扣1分）
（3）S△AOM=

1

2

a•

b

2

=

1

4

(4a+4b-8)=a+b-2=(a-4)+(b-4)+6≥2

(a-4)(b-4)

+6=4

2

+6．
當且僅當a=b=4+2

2

時面積取最小值6+4

2

．

點評：本題主要考查了直線與圓的綜合問題，考查中點坐標公式及利用基本不等式求最值．