Question

已知1＜m＜n，m，n∈N^*，求證：（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．

Answer 1

分析：根據要證明的結論，利用分析法來證明本題，從結論入手，要證結論只要證明后面這個式子成立，兩邊取對數，構造函數，問題轉化為只要證明函數在一個范圍上成立，利用導數證明函數的性質．

解答：證明：要證（1+m）ⁿ＞（1+n）^m
只要證nln（1+m）＞mln（1+n）
即

ln(1+m)

m

＞

ln(1+n)

n

．
構造函數令f（x）=

ln(1+x)

x

，x∈[2，+∞），
只要證f（x）在[2，+∞]上單調遞減，
只要證f′（x）＜0．
∵f′（x）=

[ln(1+x)]′x-x′•ln(1+x)

x2

=

x-ln(1+x)(1+x)

x2(1+x)

．
當x≥2時，x-ln（1+x）^（1+x）＜0，
x²（1+x）＞0，
∴f′（x）＜0，
即x∈[2，+∞]時，f′（x）＜0．
以上各步都可逆推，得（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．

點評：本題考查不等式的證明，考查化歸思想，考查構造函數，是一個綜合題，題目難度中等，在證明不等式時，注意采用什么形式，選擇一種合適的寫法．