Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設函數(shù)有兩個極值點（），若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）．

【解析】

（1）求出導函數(shù)，令，利用判別式討論的取值范圍，結(jié)合導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系即可求解.

（2）根據(jù)題意可得是方程的兩個不等正實根，由（1）知，利用韋達定理得，且，然后分離參數(shù)只需恒成立，，從而令，利用導數(shù)求出的最小值即可求解.

（1）因為，

所以．

令，，

當即時，，即，

所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為．

當即或時，．

若，則，所以，即，

所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為．

若，則，由，即得或；

由，即得．

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為．

綜上，當時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；

當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）由（1）得，

若有兩個極值點，則是方程的兩個不等正實根，

由（1）知．則，故，

要使恒成立，只需恒成立．

因為

令，則，

當時，，為減函數(shù)，所以．

由題意，要使恒成立，只需滿足．

所以實數(shù)的取值范圍．