Question

已知關于x的二次方程x²+（2+i）x+4ab+（2a－b）i=0（a、bR）.

（1）當方程有實數根時,求點（a,b）的軌跡;

（2）求方程的實數根的取值范圍.

Answer 1

解:（1）設實數根為x₀,則x₀²+（2+i）x₀+4ab+（2a－b）i=0,

即（x₀²+2x₀+4ab）+（x₀+2a－b）i=0,

∴

消去x₀,整理得=1.

∴軌跡是以點（,－1）為中心,以點（,－－1）、（,－1）為焦點的橢圓.

（2）由①②消去b,得8a²+4x₀a+（x₀²+2x₀）=0.

∵aR,∴=16x₀²－32（x₀²+2x₀）≥0.

∴－4≤x₀≤0.