Question

下圖所示樹形圖形中.第一層是一與水平線垂直的線段，長度為1；第二層在第一層線段的前端作兩條與該段均成135°的線段，長度為其一半；第三層按第二層的方法在每一線段的前端生成兩條線段；重復前面的作法作圖至第n層.設樹形圖的第n層的最高點到水平線的距離為第n層樹形圖的高度.

(1)求第三層及第四層樹形圖的高度H₃，H₄；

(2)求第n層樹形圖的高度H_n；

(3)若樹形圖的高度大于2，則稱樹形圖為“高大”，否則稱為“矮小”.顯然，當n=1,2時是“矮小”的，是否存在m∈Z,使得當n＞m時，該樹形圖是“高大”的?

Answer 1

思路解析：首先轉化成數學模型樹（從下而上）,新生的各層高度所構成的數列為{a_n}，然后歸納出第n層樹形圖的高度，由定義，此樹形圖永遠是“矮小”的.

解：(1)設題中樹（從下而上）新生的各層高度所構成的數列為{a_n}，則a₁=1,a₂=×,a₃=,a₄=×，

    所以，第三層樹形圖的高度H₃=a₁+a₂+a₃=.

    第四層樹形圖的高度H₄=a₁+a₂+a₃+a₄=.

（2）易知=，所以第n層新生的高度為

    所以當n為奇數時，第n層樹形圖的高度為

H_n=+=［1-()ⁿ⁺¹］+［1-()^n-1］；

    當n為偶數時，第n層樹形圖的高度為

H_n=+=［1-()ⁿ］+［1-()ⁿ］.

(3)不存在.

    由（2）知，當n為奇數時，H_n＜{［1-()ⁿ⁺¹］+［1-()^n-1］}=+＜2；

當n為偶數時，H_n＜{［1-()ⁿ］+［1-()ⁿ］}=+＜2，

    由定義，此樹形圖永遠是“矮小”的.所以不存在m∈Z,使得當n＞m時，該樹形圖是“高大”的.