Question

在△ABC中，AB=2，AC=1，點D為BC中點，

AE

=a

AB

，

AF

=b

AC

，且a+b=ab，直線EF與直線AD相交于點P，則

AP 2+ BC 2

AP • BC

=

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：不妨設∠BAC為直角，以A為坐標原點，AB，AC為x軸，y軸建立直角坐標系，由a+b=ab，得到

1

a

+

1

b

=1，求得直線EF過定點（2，1），問題得以解決

解答： 解：不妨設∠BAC為直角，以A為坐標原點，AB，AC為x軸，y軸建立直角坐標系，
顯然B（2，0），C（0，1），D（1，

1

2

），
∵a+b=ab，
∴

1

a

+

1

b

=1，可得直線EF過定點，過程如下，
∵

AP

=λ

AE

+（1-λ）

AF

=λa

AB

+（1-λ）b

AC

=μ

AD

=

μ

2

（

AB

+

AC

），
∴

λa= 1 2 μ (1-λ)b= 1 2 μ

，
∴λ+（1-λ）=

μ

2a

+

μ

2b

=

μ

2

（

1

a

+

1

b

）=1，
∴μ=2，
∴

AP

=2

AD

=（2，1），
∴直線EF過定點（2，1），
∵

BC

=（-2，1），
∴

AP 2+ BC 2

AP • BC

=

5+5

-4+1

=-

10

3

故答案為：-

10

3

．

點評：本題考查了向量的幾何意義，關鍵是構建直角坐標系，屬于中檔題