Question

設{a_n}是正數組成的數列，其前n項和為S_n,并且對于所有的n N₊,a_n與2的等差中項等于S_n與2的等比中項.  

1)寫出數列{a_n}的前3項.    2) 求數列{a_n}的通項公式(寫出推證過程).

Answer 1

解析：1)由題意，當n=1時，有 ，S₁=a₁,

∴   a₁=2      當n=2時  有    S₂=a₁+a₂  a₂>0 

  得a₂=6            同理   a₃=10   故該數列的前三項為2,6,10.

     2) 由題意，          ∴S_n= ,S_n+1=

       ∴a_n+1=S_n+1-S_n=    ∴(a_n+1+a_n)(a_n+1-a_n-4)=0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m       

       ∵a_n+1+a_n≠0，∴a_n+1-a_n=4  即數列{a_n}為等差數列。