Question

已知函數，，其中無理數e=2.17828…．
（Ⅰ）若P=0，求證：f（x）＞1-x；
（Ⅱ）若在其定義域內f（x）是單調函數，求P的取值范圍；
（Ⅲ）對于區間（1，2）中的任意常數P，是否存在x₀＞0，使f（x₀）≤g（x₀）成立？若存在，求出符合條件的一個x₀；否則說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：當p=0時，f（x）=-lnx．
令m（x）=lnx-x+1，則．
若0＜x＜1，m′（x）＞0，m（x）遞增；
若x＞1，m′（x）＜0，m（x）遞減，
則x=1是m（x）的極（最）大值點．
于是m（x）≤m（1）=0，即lnx-x+1≤0．
故當p=0時，有f（x）≥1-x；（4分）
（Ⅱ）解：對求導，
得．
①若p=0，，
則f（x）在（0，+∞）上單調遞減，故p=0合題意．
②若p＞0，．
則必須，
故當時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
③若p＜0，h（x）的對稱軸，
則必須h（0）≤0，f′（x）≤0，
故當p＜0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞減．
綜合上述，p的取值范圍是；
（Ⅲ）解：令．
則問題等價于找一個x₀＞0使F（x）≤0成立，
故只需滿足函數的最小值F（x）_min≤0即可．
因，
而，
故當時，F′（x）＜0，F（x）遞減；
當時，F′（x）＞0，F（x）遞增．
于是，．
與上述要求F（x）_min≤0相矛盾，故不存在符合條件的x₀．
分析：（Ⅰ）若P=0，要證f（x）＞1-x；即可轉化為lnx-x+1＞0在定義域內恒成立即可．在通過求導，研究其單調性，看函數的最小值，只要函數的最小值大于0即可．
（Ⅱ）若在其定義域內f（x）是單調函數，求P的取值范圍；先要明確定義域；在求導，求導后，只要滿足導數在某區間恒大于0或在某區間恒小于0即可．在這里要注意對參數p進行討論．
（Ⅲ）對于區間（1，2）中的任意常數P，是否存在x₀＞0，使f（x₀）≤g（x₀）成立，這種題型屬探索性問題；解決的關鍵在于弄懂題意．據題意可轉化為：令，則問題等價于找一個x₀＞0使F（x）≤0成立，
故只需滿足函數的最小值F（x）_min≤0即可．
點評：（1）若在其定義域內f（x）是單調函數，求參數的取值范圍；先要明確定義域；在求導，求導后，只要滿足導數在某區間恒大于0或在某區間恒小于0即可．這是通性通法．
（2）對于區間任意給定的某區間，某代數式恒成立問題，解決的關鍵在于弄懂題意．據題意一般可可轉化為構造一個函數，求滿足函數的最小值或者函數的最大值即可．