Question

如圖，正四棱柱ABCD-中，，點E在上且。

①證明：；求二面角的大小。

Answer 1

解法一：依題意，AB=2,CE=1．

(Ⅰ)連結AC交BD于點F，則 

由三垂線定理知,

在平面A₁CA內，連結EF交A₁C于點G,

由于,

故∽,,與互余。于是.

與平面內兩條相交直線BD、EF都垂直。

所以.     

（Ⅱ）作,垂足為H,連結A₁H,由三垂線定理知,

故是平面角A₁-DE-B的平面角。

 ,

,

,

,

又,

,

所以二面角的大小為,

解法二：以D為坐標原點，射線DA為x軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標系D-xyz依題設，

     ,  ,

     ,       

（Ⅰ）因為,,

     故,

      又,

     所以.

（Ⅱ）設向量,是平面DA₁E的法向量，則

故

令

<n,>等于二面角的平面角，

,

所以二面角的大小為.