Question

已知正四棱錐的底面邊長是a,側棱長是a.

(1)求它的外接球的體積；

(2)求它的內切球的表面積.

Answer 1

解:如圖，(1)設外接球的半徑為R，球心為O，則OA=OC=OS,所以O為△SAC的外心，即△SAC的外接圓半徑就是球的半徑.

∵AB=BC=a,∴AC=a.∵SA=SC=AC=a,

∴△SAC為正三角形.

由正弦定理得2R=a.

因此R=a,V_球=πR³=πa³.

(2)設內切球的半徑為r,作SE⊥底面于E，作SF⊥BC于F，則有SF=a,

S_△SBC=BC·SF=a·a=a²,

S_棱錐全=4S_△SBC+S_底=（+1）a².

又SE=a,

∴V_棱錐=S_底·h=a²·a=a³.

∴r=a.

S_球=4πr²=πa².