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【題目】已知f(x)是定義在[﹣1,1]上的奇函數,且f(1)=1,若m,n∈[﹣1,1],m+n≠0時,有 >0.
(Ⅰ)證明f(x)在[﹣1,1]上是增函數;
(Ⅱ)解不等式f(x2﹣1)+f(3﹣3x)<0
(Ⅲ)若f(x)≤t2﹣2at+1對x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,求實數t的取值范圍.

【答案】解:(Ⅰ)任取﹣1≤x1<x2≤1,
,
∵﹣1≤x1<x2≤1,∴x1+(﹣x2)≠0,
由已知
∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴f(x)在[﹣1,1]上是增函數;
(Ⅱ)∵f(x)是定義在[﹣1,1]上的奇函數,且在[﹣1,1]上是增函數,
∴不等式化為f(x2﹣1)<f(3x﹣3),
,解得 ;
(Ⅲ)由(Ⅰ)知f(x)在[﹣1,1]上是增函數,
∴f(x)在[﹣1,1]上的最大值為f(1)=1,
要使f(x)≤t2﹣2at+1對x∈[﹣1,1]恒成立,只要t2﹣2at+1≥1t2﹣2at≥0,
設g(a)=t2﹣2at,對a∈[﹣1,1],g(a)≥0恒成立,
,
∴t≥2或t≤﹣2或t=0
【解析】(Ⅰ)任取﹣1≤x1<x2≤1,則 ,由已知 ,可比較f(x1)與f(x2)的大小,由單調性的定義可作出判斷;(Ⅱ)利用函數的奇偶性可把不等式化為f(x2﹣1)<f(3x﹣3),在由單調性得x2﹣1<3x﹣3,還要考慮定義域;(Ⅲ)要使f(x)≤t2﹣2at+1對x∈[﹣1,1]恒成立,只要f(x)max≤t2﹣2at+1,由f(x)在[﹣1,1]上是增函數易求f(x)max , 再利用關于a的一次函數性質可得不等式組,保證對a∈[﹣1,1]恒成立;

練習冊系列答案
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①方程f[g(x)]=0有且僅有6個根;
②方程g[f(x)]=0有且僅有3個根;
③方程f[f(x)]=0有且僅有5個根;
④方程g[g(x)]=0有且僅有4個根.
其中正確的命題的個數為(
A.1
B.2
C.3
D.4

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A.[0,+∞)
B.[0,1]
C.[1,2]
D.

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(2)若二面角P﹣AC﹣E的余弦值為 ,求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.

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