Question

已知點A（-1，0）、B（1，0），P（x₀，y₀）是直線y=x+2上任意一點，以A、B為焦點的橢圓過點P．記橢圓離心率e關于x₀的函數為e（x₀），那么下列結論正確的是

1. A.
   e與x₀一一對應
2. B.
   函數e（x₀）無最小值，有最大值
3. C.
   函數e（x₀）是增函數
4. D.
   函數e（x₀）有最小值，無最大值

Answer 1

B
分析：由題意可得c=1，橢圓離心率e=，由橢圓的定義可得PA+PB=2a，a=，再由PA+PB 有最小值而沒有最大值，從而得出結論．
解答：由題意可得c=1，橢圓離心率e==．故當a取最大值時e取最小，a取最小值時e取最大．
由橢圓的定義可得PA+PB=2a，a=．
由于PA+PB 有最小值而沒有最大值，即a有最小值而沒有最大值，
故橢圓離心率e 有最大值而沒有最小值，故B正確，且 D不正確．
當直線y=x+2和橢圓相交時，這兩個交點到A、B兩點的距離之和相等，
都等于2a，故這兩個交點對應的離心率e相同，故A不正確．
由于當x₀的取值趨于負無窮大時，PA+PB=2a趨于正無窮大；
而當當x₀的取值趨于正無窮大時，PA+PB=2a也趨于正無窮大，故函數e（x₀）不是增函數，故C不正確．
故選B．
點評：本題主要考查橢圓的定義、以及簡單性質的應用，屬于中檔題．