Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線y=

1

4

x2的焦點，離心率等于

2 5

5

．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過橢圓C的右焦點作直線l交橢圓C于A，B兩點，交y軸于M點，點F是橢圓C的右焦點，若

AF

=λ1

MA

，

BF

=λ2

MB

，求證：

λ1+λ2

λ1λ2

為定值．

Answer 1

分析：（1）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由拋物線y=

1

4

x2化為x²=4y，可得焦點（0，1），是橢圓的短軸的一個端點，可得b=1，與已知離心率聯立可得

b=1 c a = 2 5 5 a2=b2+c2

，解得即可．
（2）設直線AB：y=k（x-2）代入橢圓方程

x2

5

+y2=1，化為（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0，得到根與系數的關系，再利用向量運算及相等即可證明．

解答：（1）解：設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由拋物線y=

1

4

x2化為x²=4y，可得焦點（0，1），是橢圓的短軸的一個端點，
∴b=1，
又

c

a

=

2 5

5

，聯立可得

b=1 c a = 2 5 5 a2=b2+c2

，解得a²=5，b=1，c=2．
故橢圓C的方程為

x2

5

+y2=1
（2）證明：設A，B，M點的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀），
F點的坐標為（2，0）．

AF

=(2-x1，-y1)，

MA

=(x1，y1-y0)，

BF

=(2-x2，-y2)，

MB

=(x2，y2-y0)，
由

AF

=λ1

MA

，得2-x1=λ1x1⇒λ1=

2-x1

x1

，
由

BF

=λ2

MB

，得2-x2=λ2x2⇒λ2=

2-x2

x2

，
則

λ1+λ2

λ1•λ2

=

2-x1 x1 + 2-x2 x2

2-x1 x1 • 2-x2 x2

=

2(x1+x2)-2x1x2

4-2(x1+x2)+x1x2

，（※）
設直線AB：y=k（x-2）代入橢圓方程

x2

5

+y2=1，
有（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0
由韋達定理x1+x2=

20k2

1+5k2

，x1x2=

20k2-5

1+5k2

代入（※）
有

λ1+λ2

λ1•λ2

=

2(x1+x2)-2x1x2

4-2(x1+x2)+x1x2

=

2• 20k2 1+5k2 -2• 20k2-5 1+5k2

4-2• 20k2 1+5k2 + 20k2-5 1+5k2

=-10．

點評：本題考查了橢圓與拋物線的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、向量運算與相等等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．