Question

已知n為奇數，且n≥3，那么7ⁿ+C_n¹•7^n-1+C_n²•7^n-2+…+C_n^n-1•7被9除所得的余數是（　　）

A．0

B．1

C．7

D．8

Answer 1

分析：7ⁿ+C_n¹•7^n-1+C_n²•7^n-2+…+C_n^n-1•7=（7+1）ⁿ-1=（9-1）ⁿ-1，又n為奇數，且n≥3，問題解決了．

解答：解：∵7ⁿ+C_n¹•7^n-1+C_n²•7^n-2+…+C_n^n-1•7=（7+1）ⁿ-1=（9-1）ⁿ-1=9ⁿ+

C

1 n

•9^n-1（-1）¹+

C

2 n

•9^n-2（-1）²+…+

C

n-1 n

•9•（-1）^n-1+

C

n n

9⁰•（-1）ⁿ-1，
又n為奇數，且n≥3，
∴倒數第二項

C

n n

9⁰•（-1）ⁿ=-1，最后一項也是-1，而從第一項到倒數第三項，每項都能被9整除，而n≥3時，（9-1）ⁿ為正數，
∴7ⁿ+C_n¹•7^n-1+C_n²•7^n-2+…+C_n^n-1•7被9除所得的余數是7．
故選C．

點評：本題考查二項式定理的應用，難點在于對“7ⁿ+C_n¹•7^n-1+C_n²•7^n-2+…+C_n^n-1•7=（9-1）ⁿ-1”的轉化與應用，屬于難題．