Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）＝|2x﹣3|+|x+2|

（1）求不等式f（x）≤5的解集；

（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤a﹣|x|在區(qū)間[﹣1，2]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）[0，2]；（2）

【解析】

(1)分段去絕對(duì)值再求解不等式即可.

(2)由題意可得可得|2x﹣3|+|x+2|+|x|≤a恒成立. g（x）＝|2x﹣3|+|x+2|+|x|,再分段去絕對(duì)值討論g（x）的最大值即可.

（1）f（x）≤5即為|2x﹣3|+|x+2|≤5,

當(dāng)x≥時(shí),2x﹣3+x+2≤5,解得≤x≤2；

當(dāng)﹣2＜x＜時(shí),3﹣2x+x+2≤5,解得0≤x＜；

當(dāng)x≤﹣2時(shí),3﹣2x﹣x﹣2≤5,解得x∈．

可得不等式的解集為[0,2]；

（2）關(guān)于x的不等式f（x）≤a﹣|x|在區(qū)間[﹣1,2]上恒成立,可得|2x﹣3|+|x+2|+|x|≤a,

設(shè)g（x）＝|2x﹣3|+|x+2|+|x|,即g（x）＝x+2+|x|+|2x﹣3|,﹣1≤x≤2,

當(dāng)≤x≤2時(shí),g（x）＝x+2+x+2x﹣3＝4x﹣1；

當(dāng)0＜x＜時(shí),g（x）＝x+2+x+3﹣2x＝5；

當(dāng)﹣1≤x≤0時(shí),g（x）＝x+2﹣x+3﹣2x＝5﹣2x．可得g（x）的最大值為g（﹣1）＝g（2）＝7,可得a≥7．

即a的范圍是．