Question

已知幾何體A-BCED的三視圖如圖所示，其中側視圖和俯視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．求：
（1）異面直線DE與AB所成角的余弦值；
（2）二面角A-ED-B的正弦值；
（3）此幾何體的體積V的大小．

Answer 1

分析：（1）求異面直線所成的角，一般有兩種方法，一種是幾何法，其基本解題思路是“異面化共面，認定再計算”，即利用平移法和補形法將兩條異面直線轉化到同一個三角形中，結合余弦定理來求．取EC的中點是F，連接BF，則BF∥DE，∠FBA或其補角即為異面直線DE與AB所成的角．
（2）先過C作CG⊥DE交DE于G，連AG．可得DE⊥平面ACG，從而∠AGC為二面角A-ED-B的平面角．再在△ACG中，利用∠ACG=90°，求得sin∠AGC從而得出二面角A-ED-B的正弦值
（3）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，則體積可以求得．

解答：解：（1）取EC的中點是F，連接BF，
則BF∥DE，∴∠FBA或其補角即為異面直線DE與AB所成的角．
在△BAF中，AB=4

2

，BF=AF=2

5

，
cos∠ABF=

10

5

，．
∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為

10

5

．（3分）
（2）AC⊥平面BCE，過C作CG⊥DE交DE于G，連AG．可得DE⊥平面ACG，從而AG⊥DE
∴∠AGC為二面角A-ED-B的平面角．
在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，CG=

8 5

5

∴tan∠AGC=

5

2

，．∴sin∠AGC=

5

3

．
∴二面角A-ED-B的正弦值為

5

3

．（6分）
（3）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=2，
∴S_梯形BCED=

1

2

×（4+2）×4=12
∴V=

1

3

•S_梯形BCED•AC=

1

3

×12×4=16．
即該幾何體的體積V為16．

點評：本小題主要考查空間線面關系、面面關系、二面角的度量、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．