Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與雙曲線 C₂：x²-

y2

4

=1有公共的焦點，C₂的一條漸近線與以C₁的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點，若C₁恰好將線段AB三等分，則橢圓C₁的離心率為 （　　）

• A．e²=

  10

  11

• B．e²=

  1

  2

• C．e²=

  9

  10

• D．e²=

  8

  9

Answer 1

分析：根據雙曲線方程，確定一條漸近線為y=2x，可得AB=2a且AB為題中圓的直徑．由橢圓與雙曲線有公共焦點，可得a²-b²=5．設C₁與y=2x在第一象限的交點為A（m，2m），代入C₁解出m²=

a2b2

b2+4a2

．再由對稱性知直線y=2x被C₁截得的弦長AB=2

5

m，根據C₁恰好將線段AB三等分解出m=

a

3 5

，聯解可得a²、b²、c²的值，結合離心率的公式加以計算，可得答案．

解答：解：由題意，C₂的焦點為（±

5

，0），一條漸近線方程為y=2x，
根據對稱性可知以C₁的長軸為直徑的圓交y=2x于A、B兩點，滿足AB為圓的直徑且AB=2a
∵橢圓C₁與雙曲線C₂有公共的焦點，
∴C₁的半焦距c=

5

，可得a²-b²=5，…①
設C₁與y=2x在第一象限的交點的坐標為A（m，2m），
代入C₁的方程，解得m²=

a2b2

b2+4a2

，…②
由對稱性可得直線y=2x被C₁截得的弦長AB=2

5

m，
結合題意得2

5

m=

2a

3

，可得m=

a

3 5

，…③
由②③聯解，得a²=11b²…④
再聯解①④，可得a²=5.5，b²=0.5，得c²=a²-b²=5．
∴橢圓C₁的離心率e滿足e²=(

c

a

)2=

c2

a2

=

10

11

．
故選：A

點評：本題給出雙曲線與橢圓共焦點，在雙曲線的漸近線與橢圓長軸為直徑的圓相交所得的弦AB被橢圓三等分時，求橢圓的離心率的值．著重考查了橢圓、雙曲線的標準方程與簡單幾何性質與直線與圓等知識，屬于中檔題．