Question

已知函數f（x）=x²+（2a-8）x，不等式f（x）≤5的解集是{x|-1≤x≤5}．
（1）求實數a的值；
（2）f（x）≥m²-4m-9對于x∈R恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）=x²+（2a-8）x，不等式f（x）≤5的解集是{x|-1≤x≤5}，知x=-1，x=5是方程x²+（2a-8）x-5=0的兩個實數根，由此能求出實數a．
（2）由f（x）=x²-4x=（x-2）²-4≥-4，f（x）≥m²-4m-9對于x∈R恒成立，知-4≥m²-4m-9，由此能求出實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數f（x）=x²+（2a-8）x，不等式f（x）≤5的解集是{x|-1≤x≤5}，
∴x=-1，x=5是方程x²+（2a-8）x-5=0的兩個實數根，
所以-1+5=8-2a，
解得a=2．
（2）∵a=2，∴f（x）=x²-4x=（x-2）²-4≥-4，
因為f（x）≥m²-4m-9對于x∈R恒成立，
所以-4≥m²-4m-9，
即m²-4m-5≤0，
解得-1≤m≤5，
故實數m的取值范圍是{m|-1≤m≤5}．

點評：本題考查實數值及滿足條件的實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．