Question

已知函數f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a為常數，且函數y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與兩坐標軸的交點處的切線相互平行．
（1）求實數a的值；
（2）若關于x的不等式對任意不等于1的正實數都成立，求實數m的取值集合．

Answer 1

解：（1）．
y=f（x）的圖象與坐標軸交于點（0，a）；y=g（x）的圖象與坐標軸交于點（a，0），
∴f′（0）=g′（a）．
∴．
∵a＞0，∴a=1
∴g（x）=lnx．
（2）①當x＞1時，由得恒成立．
令，則．
令，則，
∴h（x）在[1，+∞）上遞增．
∴?x＞1，h（x）＞h（1）=0．
∴φ′（x）＞0．
∴φ（x）在[1，+∞）上遞增．
∴m≤φ（1）=1．
②當0＜x＜1時，由得即m＞φ（x）恒成立．
同①可得φ（x）在（0，1]上遞增．
∴m≥φ（1）=1．
綜合①②得m=1．
分析：（1）利用導數的幾何意義，分別求兩函數在與兩坐標軸的交點處的切線斜率，令其相等解方程即可得a值
（2）不等式對任意不等于1的正實數都成立，即當x＞1時恒成立；當0＜x＜1時得恒成立．構造新函數，求其在[1，+∞）的最小值，在（0，1]上的最大值即可
點評：本題綜合考查了導數的幾何意義及導數在解決恒成立問題、最值問題中的應用，解題時要善于構造新函數解決不等式恒成立問題，計算要認真細致