Question

（2009•溫州一模）已知△AOB，點(diǎn)P在線段AB上，已知

OP

=m

OA

+4n

OB

，則mn的最大值為

1

16

．

Answer 1

分析：由向量共線定理可得，存在實(shí)數(shù)λ使得

AP

=λ

AB

（0≤λ≤1），而

OP

=

OA

+

AP

=

OA

+ λ

AB

=

OA

+λ(

OB

-

OA

)
=(1-λ)

OA

+λ

OB

，則可得m，n與λ的關(guān)系，結(jié)合基本不等式可求mn的最大值

解答：解：由點(diǎn)P在線段AB上可得A，P，B三點(diǎn)共線
由向量共線定理可得，存在實(shí)數(shù)λ使得

AP

=λ

AB

（0≤λ≤1）

OP

=

OA

+

AP

=

OA

+ λ

AB

=

OA

+λ(

OB

-

OA

)
=(1-λ)

OA

+λ

OB

∵

OP

=m

OA

+4n

OB

且

OA

，

OB

不共線
∴m=1-λ，4n=λ
∴mn=

1

4

(1-λ)λ≤

1

4

•(

1-λ+λ

2

)2=

1

16

故答案為：

1

16

點(diǎn)評：本題主要考查了向量共線的定理的應(yīng)用：若A，B，C三點(diǎn)共線，O為AB外一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)λ使得

OA

=λ

OB

+(1-λ)

OC

，注意該結(jié)論中的系數(shù)的特殊關(guān)系（λ+（1-λ）=1）