Question

設x，y滿足約束條件

x+y≥1 x-y≥-1 2x-y≤2

，若目標函數z=4ax+3by，（a＞0，b＞0）的最大值為12，則

1

a

+

1

b

的最小值為

4

．

Answer 1

分析：由已知利用線性規劃可得a+b=1，而

1

a

+

1

b

=（a+b）（

1

a

+

1

b

）展開后利用基本不等式即可求解

解答：解：不等式表示的平面區域如圖所示陰影部分，
由直線4ax+3by=z（a＞0，b＞0）可得y=-

4a

3b

x+

z

3b

，則

z

3b

表示直線在y軸截距，截距越大z越大
由a＞0，b＞0可得-

4a

3b

＜0
∴直線4ax+3by=Z過點B時，目標函數有最大值
由

2x-y=2 x-y=-1

可得B（3，4）
此時目標函數z=4ax+3by（a＞0，b＞0）取得最大12，
即12a+12b=12，即a+b=1而

1

a

+

1

b

=（

1

a

+

1

b

）（a+b）=2+

b

a

+

a

b

≥4
當且僅當

b

a

=

a

b

即a=b=

1

2

時取等號
∴

1

a

+

1

b

的最小值4
故答案為：4

點評：本題綜合地考查了線性規劃問題和由基本不等式求函數的最值問題．要求能準確地畫出不等式表示的平面區域，并且能夠求得目標函數的最值．