Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（1）判斷函數在區間[1，+∞）上的單調性，并用定義證明你的結論．
（2）求該函數在區間[1，4]上的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）= = ，

∵x1﹣x2＜0，（x1+1）（x2+1）＞0，

所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

所以函數f（x）在[1，+∞）上是增函數

（2）解：由（1）知函數f（x）在[1，4]上是增函數，

∴最大值f（4）= ，最小值f（1）=

【解析】（1）根據增函數的定義進行判斷和證明；（2）利用（1）的結論，利用函數的單調性．
【考點精析】關于本題考查的函數的值域和函數單調性的判斷方法，需要了解求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較才能得出正確答案．