Question

（2010•唐山三模）有甲、乙兩箱產品，甲箱共裝8件，其中一等品5件，二等品3件；乙箱共裝4件，其中一等品3件，二等品1件．現采用分層抽樣方法（層內采用不放回簡單隨機抽樣）從甲、乙兩箱中共抽取產品3件．
（Ⅰ）求抽取的3件產品全部是一等品的概率；
（Ⅱ）用ξ抽取的3件產品中為二等品的件數，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題設條件，由分層抽樣的意義，應該從甲箱中抽取2件產品，從乙箱中抽取1件產品，由此能求出抽取的3件產品全是一等品的概率．
（Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3．由題設條件分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（Ⅰ）根據題設條件，由分層抽樣的意義，
應該從甲箱中抽取2件產品，
從乙箱中抽取1件產品，
則抽取的3件產品全是一等品的概率P=

C 2 5

C 2 8

•

C 1 3

C 1 4

=

15

56

．
（Ⅱ）由題設知，ξ的可能取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=

C 2 5

C 2 8

•

C 1 3

C 1 4

=

15

56

．
P（ξ=1）=

C 1 3 C 1 5

C 2 8

•

C 1 3

C 1 4

+

C 2 5

C 2 8

•

1

C 1 4

=

55

112

，
P（ξ=2）=

C 2 3

C 2 8

•

C 1 3

C 1 4

+

C 1 3 C 1 5

C 2 8

•

1

C 1 4

=

3

14

，
P（ξ=3）=

C 2 3

C 2 8

•

1

C 1 4

=

3

112

．
∴ξ的分布列為：

ζ	0	1	2	3
P	15 56	55 112	3 14	3 112

∴Eξ=0×

15

56

+1×

55

112

+2×

3

14

+3×

3

112

=1．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，考查學生的運算能力，考查學生探究研究問題的能力，解題時要認真審題，理解古典概型的特征：試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現的等可能性，體現了化歸的重要思想．