Question

已知橢圓C：的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數(shù)，直線與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切。

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)M是橢圓的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作直線MA,MB交橢圓于A,B兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為k₁,k₂,且k₁＋k₂＝2，證明：直線AB過定點(diǎn)(―1,―1)

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析

【解析】

試題分析：（I）由等軸雙曲線的離心率為，可得橢圓的離心率，因?yàn)橹本�，與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切，利用點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓相切的性質(zhì)可得，，再利用即可得出；（II）分直線AB的斜率不存在與存在兩種情況討論，①不存在時(shí)比較簡單；②斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，由橢圓 與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式，再利用即可證明

試題解析：（Ⅰ）由題意得

，                                           2分

即，解得                         4分

故橢圓C的方程為                               5分

（Ⅱ）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)A,則B，由k₁＋k₂＝2得

，得                            7分

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)AB的方程為y=kx+b（）,,

得，    9分

即

由，              11分

即

故直線AB過定點(diǎn)(―1,―1)                          13分

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程