Question

已知函數f（x）=x²+alnx（a為常數）．
（1）若a=-4，討論f（x）的單調性；
（2）若a≥-4，求f（x）在[1，e]上的最小值及相應的x的值；
（3）若對任意x∈[1，e]，f（x）≤（a+2）x都成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a=-4代入，我們易得到函數f（x）的解析式，進而求出函數的導函數的解析式，分析導函數的符號，即可分析出f（x）的單調性；
（2）若a≥-4，我們對a進行分類討論，易確定出函數f（x）在[1，e]上的單調性，進而可以求出f（x）在[1，e]上的最小值及相應的x的值；
（3）若對任意x∈[1，e]，f（x）≤（a+2）x都成立，即a（x-lnx）≥x²-2x，構造函數φ(x)=

x2-2x

x-lnx

，可將問題轉化為一個函數恒成立問題，由此求出函數的最小值，即可得到結論．

解答：解：（1）f（x）=x²-4lnx（x＞0），f'（x）=2x-

4

x

=

2(x2-2)

x

∴當x∈（0，

2

]時，f（x）是減函數；
當x∈[

2

，+∞），f（x）是增函數．
（2）a≥-4時，f（x）=x²+alnx，x∈[1，e]，f'（x）=

2x2+a

x

．
若a≥-2，f'（x）≥0恒成立，f（x）在[1，e]上遞增，
則當x=1時，f（x）取最小值f（1）=1；
若-4≤a＜-2，f（x）在[1，

- a 2

]遞減，在[

- a 2

，e]上遞增，
則當x=

- a 2

時，f（x）取最小值f（

- a 2

）=-

a

2

+

1

2

aln（-

a

2

）．
（3）對x∈[1，e]，f（x）≤（a+2）x成立，
即x²+alnx≤（a+2）x，
即a（x-lnx）≥x²-2x，
而x∈[1，e]，x＞lnx，
故a≥

x2-2x

x-lnx

，記φ(x)=

x2-2x

x-lnx

，x∈[1，e]，φ′(x)=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

≥0（僅當x=1時取等號）
∴φ(x)≤φ(e)=

e2-2e

e-1

∴所求a的取值范圍是[

e2-2e

e-1

，+∞]．

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，利用函數研究函數的極值，求不等式在某個區間上恒成立，往往要構造函數，利用導數法，求出函數的最值，進而得到答案．