Question

已知數列{a_n}滿足a₁=2，前n項和為S_n，an+1=

pan+n-1(n為奇數) -an-2n(n為偶數)

．
（Ⅰ）若數列{b_n}滿足b_n=a_2n+a_2n+1（n≥1），試求數列{b_n}前n項和T_n；
（Ⅱ）若數列{c_n}滿足c_n=a_2n，試判斷c_n是否為等比數列，并說明理由；
（Ⅲ）當p=

1

2

時，問是否存在n∈N^*，使得（S_2n+1-10）c_2n=1，若存在，求出所有的n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）據題意得b_n=a_2n+a_2n+1=a_2n-a_2n-2×2n=-4n，所以{b_n}成等差數列，故T_n=-2n²-2n（4分）
（Ⅱ）當p=

1

2

時，數列{c_n}成等比數列；當p≠

1

2

時，數列{c_n}不為等比數列
理由如下：因為c_n+1=a_2n+2=pa_2n+1+2n=p（-a_2n-4n）+2n=-pc_n-4pn+2n，
所以

cn+1

cn

=-p+

2n(1-2p)

cn

，故當p=

1

2

時，數列c_n是首項為1，公比為-

1

2

等比數列；
當p≠

1

2

時，數列{c_n}不成等比數列（9分）
（Ⅲ）當p=

1

2

時，a2n=cn=(-

1

2

)n-1，a2n+1=bn-a2n=-4n-(-

1

2

)n-1（10分）
因為S_2n+1=a₁+b₁+b₂+…+b_n=-2n²-2n+2（n≥1）（12分）
∵（S_2n+1-10）c_2n=1，
∴4n²+4n+16=4ⁿ，設f（x）=4^x-4x²-4x-16（x≥2），
則g（x）=f'（x）=4^xln4-8x-4，
∴g'（x）=（ln4）²4^x-8＞0（x≥2），且g（2）=f'（2）＞0，
∴f（x）在[2，+∞）遞增，且f（3）=0，f（1）≠0，
∴僅存在惟一的n=3使得（S_2n+1-10）c_2n=1成立（16分）