Question

不等式-2≤x²+ax+b≤1（a≠0）的解集中恰有一個(gè)元素，則b+

1

a2

的最小值為

2

．

Answer 1

分析：由不等式-2≤x²+ax+b≤1（a≠0）的解集中恰有一個(gè)元素，畫圖分析a、b所滿足的條件，把b代入b+

1

a2

后借助于基本不等式求最值．

解答：解：由-2≤x²+ax+b≤1，得：

x2+ax+b+2≥0 x2+ax+b-1≤0

，
不等式-2≤x²+ax+b≤1（a≠0）的解集中恰有一個(gè)元素，
由不等式對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象，

可知，

a2-4(b+2)≤0 a2-4(b-1)=0

即b=

a2

4

+1，
則b+

1

a2

=

a2

4

+1+

1

a2

≥2

a2 4 • 1 a2

+1=2．
故答案為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式的解法，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考察了數(shù)形結(jié)合思想和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是由不等式-2≤x²+ax+b≤1（a≠0）的解集中恰有一個(gè)元素得到a和b的關(guān)系，此題是中檔題．