Question

若不等式

2x2+2kx+k

4x2+6x+3

＜1對于x取任何實數均成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：先將1移到左邊，通分后將分式變為因式相乘的形式，根據題意不等式對于x取任何實數均成立可得出一元二次不等式所對應的方程的判別式＜0，進而可解得答案．

解答：解：∵

2x2+2kx+k

4x2+6x+3

＜1，
∴

2x2+2kx+k

4x2+6x+3

-1＜0，
∴

2x2-2(k-3)x+3-k

4x2+6x+3

＞0，
∴2x²-2（k-3）x+3-k＞0（因為：4x²+6x+3恒正），
∴原不等式對x取任何實數均成立，等價于不等式2x²-2（k-3）x+3-k＞0對x取任何實數均成立．
∴由△＜0，即4（k-3）²-8（3-k）＜0，∴k²-4k+3＜0，
解得：1＜k＜3．
故k的取值范圍為 （1，3）．

點評：本題考查一元二次不等式的解法，有一定難度，解答此類題目的關鍵是掌握不等式對于x取任何實數均成立可得出一元二次不等式所對應的方程的判別式小于0．