Question

已知函數f（x）=log_a（2x+1），g（x）=log_a（1-2x）（a＞0且a≠1）
（1）求函數F（x）=f（x）-g（x）的定義域；
（2）判斷F（x）=f（x）-g（x）的奇偶性，并說明理由；
（3）確定x為何值時，有f（x）-g（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）利用對數函數的性質求函數的定義域．
（2）利用函數奇偶性的定義去判斷．
（3）若f（x）＞g（x），可以得到一個對數不等式，然后分類討論底數取值，即可得到不等式的解．

解答：解：（1）要使函數有意義，則有

2x+1＞0 1-2x＞0

∴{x| -

1

2

＜x＜

1

2

}．
（2）F（x）=f（x）-g（x）
=log_a（2x+1）-log_a（1-2x），
F（-x）=f（-x）-g（-x）
=log_a（-2x+1）-log_a（1+2x）
=-F（x）．
∴F（x）為奇函數．
（3）∵f（x）-g（x）＞0
∴log_a（2x+1）-log_a（1-2x）＞0
即log_a（2x+1）＞log_a（1-2x）．
①0＜a＜1，0＜2x+1＜1-2x∴-

1

2

＜x＜0．
②a＞1，2x+1＞1-2x＞0∴0＜x＜

1

2

．

點評：本題主要考查了函數的定義域以及函數奇偶性的判斷，判斷函數的奇偶性首先要判斷定義域是否關于原點對稱，然后在利用奇偶性的定義去判斷，同時考查不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．